On maximal chain subgraphs and covers of bipartite graphs

In this paper, we address three related problems. One is the enumeration of all the maximal edge induced chain subgraphs of a bipartite graph, for which we provide a polynomial delay algorithm. We give bounds on the number of maximal chain subgraphs for a bipartite graph and use them to establish the input-sensitive complexity of the enumeration problem. The second problem we treat is the one of finding the minimum number of chain subgraphs needed to cover all the edges a bipartite graph. For this we provide an exact exponential algorithm with a non trivial complexity. Finally, we approach the problem of enumerating all minimal chain subgraph covers of a bipartite graph and show that it can be solved in quasi-polynomial time

On Maximal Chain Subgraphs and Covers of Bipartite Graphs

International audienceIn this paper, we address three related problems. One is the enumeration of all the maximal edge induced chain subgraphs of a bipartite graph, for which we provide a polynomial delay algorithm. We give bounds on the number of maximal chain subgraphs for a bipartite graph and use them to establish the input-sensitive complexity of the enumeration problem. The second problem we treat is the one of finding the minimum number of chain subgraphs needed to cover all the edges a bipartite graph. For this we provide an exact exponential algorithm with a non trivial complexity. Finally, we approach the problem of enumerating all minimal chain subgraph covers of a bipartite graph and show that it can be solved in quasi-polynomial time

Algorithms for the quantitative Lock/Key model of cytoplasmic incompatibility

International audienceCytoplasmic incompatibility (CI) relates to the manipulation by the parasite Wolbachia of its host reproduction. Despite its widespread occurrence, the molecular basis of CI remains unclear and theoretical models have been proposed to understand the phenomenon. We consider in this paper the quantitative Lock-Key model which currently represents a good hypothesis that is consistent with the data available. CI is in this case modelled as the problem of covering the edges of a bipartite graph with the minimum number of chain subgraphs. This problem is already known to be NP-hard, and we provide an exponential algorithm with a non trivial complexity. It is frequent that depending on the dataset, there may be many optimal solutions which can be biologically quite different among them. To rely on a single optimal solution may therefore be problematic. To this purpose, we address the problem of enumerating (listing) all minimal chain subgraph covers of a bipartite graph and show that it can be solved in quasi-polynomial time. Interestingly, in order to solve the above problems, we considered also the problem of enumerating all the maximal chain subgraphs of a bipartite graph and improved on the current results in the literature for the latter. Finally, to demonstrate the usefulness of our methods we show an application on a real dataset

Fatality rate and predictors of mortality in an Italian cohort of hospitalized COVID-19 patients

Clinical features and natural history of coronavirus disease 2019 (COVID-19) differ widely among different countries and during different phases of the pandemia. Here, we aimed to evaluate the case fatality rate (CFR) and to identify predictors of mortality in a cohort of COVID-19 patients admitted to three hospitals of Northern Italy between March 1 and April 28, 2020. All these patients had a confirmed diagnosis of SARS-CoV-2 infection by molecular methods. During the study period 504/1697 patients died; thus, overall CFR was 29.7%. We looked for predictors of mortality in a subgroup of 486 patients (239 males, 59%; median age 71 years) for whom sufficient clinical data were available at data cut-off. Among the demographic and clinical variables considered, age, a diagnosis of cancer, obesity and current smoking independently predicted mortality. When laboratory data were added to the model in a further subgroup of patients, age, the diagnosis of cancer, and the baseline PaO2/FiO2 ratio were identified as independent predictors of mortality. In conclusion, the CFR of hospitalized patients in Northern Italy during the ascending phase of the COVID-19 pandemic approached 30%. The identification of mortality predictors might contribute to better stratification of individual patient risk

Algorithmes d'énumération et modèles de théorie des graphes pour traiter des problèmes biologiques liés à la symbiose

Dans cette thèse, nous abordons deux problèmes de théorie des graphes liés à deux problèmes biologiques de symbiose (deux organismes vivent en symbiose s'ils ont une interaction étroite et à long terme). Le premier problème est lié au phénomène de l'Incompatibilité cytoplasmique (IC) induit par certaines bactéries parasites chez leurs hôtes. L'IC se traduit par l'impossibilité de donner naissance à une progéniture saine lorsqu'un mâle infecté s'accouple avec une femelle non infectée. En termes de graphe ce problème peut s'interpréter comme la recherche d'une couverture minimum par des "sous-graphes des chaînes" d'un graphe biparti. Un graphe des chaînes est un graphe biparti dont les noeuds peuvent être ordonnés selon leur voisinage.En terme biologique, la taille minimale représente le nombre de facteurs génétiques impliqués dans le phénomène de l'IC. Dans la première moitié de la thèse, nous abordons trois problèmes connexes à ce modèle de la théorie des graphes. Le premier est l'énumération de tous les graphes des chaînes maximaux arêtes induits d'un graphe biparti G, pour lequel nous fournissons un algorithme en delai polynomial avec un retard de O(n^2m) où n est le nombre de noeuds et m le nombre d'arêtes de G. Dans la même section, nous montrons que (n/2)! et 2^(√m log m) bornent le nombre de sous-graphes de chaînes maximales de G et nous les utilisons pour établir la complexité "input-sensitive" de notre algorithme. Le deuxième problème que nous traitons est de trouver le nombre minimum de graphes des chaînes nécessaires pour couvrir tous les bords d'un graphe biparti.Pour résoudre ce problème NP-hard, en combinant notre algorithme avec la technique d'inclusion-exclusion, nous fournissons un algorithme exponentiel exact en O*((2+c)^m), pour chaque c≻0 (par O* on entend la notation O standard mais en omettant les facteurs polynomiaux). Le troisième problème est l'énumération de toutes les couvertures minimales par des sous-graphes des chaînes. Nous montrons qu'il est possible d'énumérer toutes les couvertures minimales de G en temps O([(M+1)|S|]^[log((M+1)|S|)]) où S est le nombre de couvertures minimales de G et M le nombre maximum des sous-graphes des chaînes dans une couverture minimale. Nous présentons ensuite la relation entre le second problème et le calcul de la dimension intervallaire d'un poset biparti. Nous donnons une interprétation de nos résultats dans le contexte de la dimension d'ordreIn this thesis, we address two graph theoretical problems connected to two different biological problems both related to symbiosis (two organisms live in symbiosis if they have a close and long term interaction). The first problem is related to the size of a minimum cover by "chain subgraphs" of a bipartite graph. A chain graph is a bipartite graph whose nodes can be ordered by neighbourhood inclusion. In biological terms, the size of a minimum cover by chain subgraphs represents the number of genetic factors involved in the phenomenon of Cytoplasmic Incompatibility (CI) induced by some parasitic bacteria in their insect hosts. CI results in the impossibility to give birth to an healthy offspring when an infected male mates with an uninfected female. In the first half of the thesis we address three related problems. One is the enumeration of all the maximal edge induced chain subgraphs of a bipartite graph G, for which we provide a polynomial delay algorithm with a delay of O(n^2m) where n is the number of nodes and m the number of edges of G. Furthermore, we show that (n/2)! and 2^(√m log m) bound the number of maximal chain subgraphs of G and use them to establish the input-sensitive complexity of the algorithm. The second problem we treat is finding the minimum number of chain subgraphs needed to cover all the edges of a bipartite graph. To solve this NP-hard problem, we provide an exact exponential algorithm which runs in time O*((2+c)^m), for every c≻0, by a procedure which uses our algorithm and an inclusion-exclusion technique (by O* we denote standard big O notation but omitting polynomial factors). Notice that, since a cover by chain subgraphs is a family of subsets of edges, the existence of an algorithm whose complexity is close to 2^m is not obvious. Indeed, the basic search space would have size 2^(2^m), which corresponds to all families of subsets of edges of a graph on m edges. The third problem is the enumeration of all minimal covers by chain sugbgraphs. We show that it is possible to enumerate all such minimal covers of G in time O([(M+1)|S|]^[log((M+1)|S|)]) where S is the number of minimal covers of G and M the maximum number of chain graphs in a minimal cover. We then present the relation between the second problem and the computation of the interval order dimension of a bipartite poset. We give an interpretation of our results in the context of poset and interval poset dimension... [etc

Enumeration algorithms and graph theoretical models to address biological problems related to symbiosis

In this thesis, we address two graph theoretical problems connected to two different biological problems both related to symbiosis (two organisms live in symbiosis if they have a close and long term interaction). The first problem is related to the size of a minimum cover by "chain subgraphs" of a bipartite graph. A chain graph is a bipartite graph whose nodes can be ordered by neighbourhood inclusion. In biological terms, the size of a minimum cover by chain subgraphs represents the number of genetic factors involved in the phenomenon of Cytoplasmic Incompatibility (CI) induced by some parasitic bacteria in their insect hosts. CI results in the impossibility to give birth to an healthy offspring when an infected male mates with an uninfected female. In the first half of the thesis we address three related problems. One is the enumeration of all the maximal edge induced chain subgraphs of a bipartite graph G, for which we provide a polynomial delay algorithm with a delay of O(n^2m) where n is the number of nodes and m the number of edges of G. Furthermore, we show that (n/2)! and 2^(\sqrt{m} \log m) bound the number of maximal chain subgraphs of G and use them to establish the input-sensitive complexity of the algorithm. The second problem we treat is finding the minimum number of chain subgraphs needed to cover all the edges of a bipartite graph. To solve this NP-hard problem, we provide an exact exponential algorithm which runs in time O^*((2+c)^m), for every c>0, by a procedure which uses our algorithm and an inclusion-exclusion technique (by O^* we denote standard big O notation but omitting polynomial factors). Notice that, since a cover by chain subgraphs is a family of subsets of edges, the existence of an algorithm whose complexity is close to 2^m is not obvious. Indeed, the basic search space would have size 2^(2^m), which corresponds to all families of subsets of edges of a graph on $m$ edges. The third problem is the enumeration of all minimal covers by chain sugbgraphs. We show that it is possible to enumerate all such minimal covers of G in time O([(M+1)|S|]^[\log((M+1)|S|)]) where S is the number of minimal covers of G and M the maximum number of chain graphs in a minimal cover. We then present the relation between the second problem and the computation of the interval order dimension of a bipartite poset. We give an interpretation of our results in the context of poset and interval poset dimension. Indeed, we can compute the interval dimension of a bipartite poset P in O^*((2+c)^p) where p is the number of incomparable pairs of P. Finally, we extend further these results to the problem of computing the poset dimension. By a classical result in poset theory (Trotter "split" operation), we then obtain a procedure which solves this problem in O^*((2+c)^(p/2)). To improve our results on the poset dimension and to perform better than O(\sqrt{2}^p), i.e. the minimum time to run the inclusion-exclusion formula on which these results are based, we introduce an associated graph GCP for each poset, called the graph of critical pairs. In this way we obtain two algorithms, an exponential and a polynomial space one. These algorithms compute the poset dimension in 2^q and O(2.9977 ^q) time respectively where q is the number of critical pairs of P (intuitively, critical pairs are the fundamental incomparable pairs to consider). In the second part of the thesis, we deal with the Reconciliation Model of two phylogenetic trees and the exploration of its optimal solutions space. Phylogenetic tree reconciliation is the approach commonly used to investigate the coevolution of sets of organisms such as hosts and symbionts. Given a phylogenetic tree for each such set, respectively denoted by H and S, together with a mapping phi of the leaves of S to the leaves of H, a reconciliation is a mapping rho of the internal nodes of S to the nodes of H which extends \phi with some constraints. Depending on the mapping of a node and its children, four types of events can be identified: "cospeciation" (when host and symbiont evolve together), "duplication" (when the symbiont evolves into different species but not the host), "loss" (when the host evolves into two new species but not the symbiont, leading to the loss of the symbiont in one of the two new host species) and "host switch" (when the symbiont evolves into two new species with one species remaining with its current host while the other switches, that is jumps to another host species). Given a cost for each kind of event, c_c, c_d, c_l, and c_h respectively, we can assign a total cost to each reconciliation. The set of reconciliations with minimum cost is denoted by Rec(H,P,phi,C), where C = (c_c,c_d,c_l,c_h), and its elements are said to represent "parsimonious" reconciliations. However, their number can be often huge. Without further information, any biological interpretation of the underlying coevolution would require that all the parsimonious reconciliations are enumerated and examined. The latter is however impossible without providing some sort of high level view of the situation. In this thesis, we approached this problem by introducing two equivalence relations to collect similar reconciliations and reduce the optimal solutions set to a smaller set of representatives of these equivalence classes. We introduce as well a new distance among optimal reconciliations DH and we compare it with the distances already present in the literature. We show that we can embed the set of parsimonious reconciliations Rec(H,P,phi,C) into the discrete k dimensional hypercube H^k = {0,1}^k and that DH coincides with the "Hamming Distance" on H^k. Finally, we present a series of results on reconciliations based on the conditions c_c 0 which lead to prove that a reconciliation is characterized by its set of host switches. The equivalence relations and the distance DH are all based on the host-switch events. We performed experiments on some real datasets and we present some of the results obtained to show the efficacy of the two equivalence relations. We comment these results under the light of the chosen cost vector C. The most outstanding results we obtain is in the case of the dataset related to the parasite Wolbachia where we pass from ~4.08 x 10^{42} parsimonious reconciliations to ~ 1.15 x 10^{3} representatives.Dans cette thèse, nous abordons deux problèmes de théorie des graphes liés à deux problèmes biologiques de symbiose (deux organismes vivent en symbiose s'ils ont une interaction étroite et à long terme). Le premier problème est lié au phénomène de l'Incompatibilité cytoplasmique (IC) induit par certaines bactéries parasites chez leurs hôtes. L'IC se traduit par l'impossibilité de donner naissance à une progéniture saine lorsqu'un mâle infecté s'accouple avec une femelle non infectée. En termes de graphe ce problème peut s’interpréter comme la recherche d'une couverture minimum par des "sous-graphes des chaînes" d'un graphe biparti. Un graphe des chaînes est un graphe biparti dont les nœuds peuvent être ordonnés selon leur voisinage. En terme biologique, la taille minimale représente le nombre de facteurs génétiques impliqués dans le phénomène de l'IC. Dans la première moitié de la thèse, nous abordons trois problèmes connexes à ce modèle de la théorie des graphes. Le premier est l'énumération de tous les graphes des chaînes maximaux arêtes induits d'un graphe biparti G, pour lequel nous fournissons un algorithme en delai polynomial avec un retard de O(n^2m) où n est le nombre de noeuds et m le nombre d'arêtes de G. Dans la même section, nous montrons que (n/2)! et 2^(\sqrt{m}\log m) bornent le nombre de sous-graphes de chaînes maximales de G et nous les utilisons pour établir la complexité "input-sensitive" de notre algorithme. Le deuxième problème que nous traitons est de trouver le nombre minimum de graphes des chaînes nécessaires pour couvrir tous les bords d'un graphe biparti. Pour résoudre ce problème NP-hard, en combinant notre algorithme avec la technique d'inclusion-exclusion, nous fournissons un algorithme exponentiel exact en O^*((2+c)^m), pour chaque c > 0 (par O^* on entend la notation O standard mais en omettant les facteurs polynomiaux). Le troisième problème est l'énumération de toutes les couvertures minimales par des sous-graphes des chaînes. Nous montrons qu'il est possible d'énumérer toutes les couvertures minimales de G en temps O([(M + 1) |S|] ^ [\ log ((M + 1) |S|)]) où S est le nombre de couvertures minimales de G et M le nombre maximum des sous-graphes des chaînes dans une couverture minimale. Nous présentons ensuite la relation entre le second problème et le calcul de la dimension intervallaire d'un poset biparti. Nous donnons une interprétation de nos résultats dans le contexte de la dimension d'ordre et la dimension intervallaire. En effet, nous pouvons calculer la dimension intervallaire d'un poset biparti P en O^*((2+ c)^p) où p est le nombre de de paires incomparables de P. Enfin, nous étendons ces résultats au problème du calcul de la dimension d'ordre. Par un résultat classique en théorie des ordres (l'opération "split" de Trotter), nous obtenons alors une procédure qui résout ce problème dans O^*((2+ c)^(p/2)). Pour améliorer nos résultats sur la dimension d'ordre et faire mieux que O(\sqrt{2}^p), i.e. le temps minimum pour exécuter la formule d'inclusion-exclusion sur laquelle ces résultats sont basés, pour chaque poset nous introduisons un graphe associé GCP, dit "graphe des paires critiques". De cette façon, nous obtenons deux algorithmes, un en espace exponentiel et un en espace polynomial. Ces algorithmes calculent la dimension d'ordre en temps 2^q et O(2.9977^q) respectivement où q est le nombre de paires critiques de P (intuitivement, les paires critiques sont les paires incomparables fondamentales à considérer). Dans la deuxième partie de la thèse, nous traitons du modèle de réconciliation des arbres phylogénétiques et de l'exploration de l'espace de solutions optimales de ces réconciliations. La réconciliation d'arbre phylogénétique est l'approche couramment utilisée pour étudier la coévolution d'ensembles d'organismes tels que les hôtes et les symbiotes. Cette approche consiste à une fonction de l'arbre phylogénétique des symbiotes P sur celui de les hôtes H en respectant quelques contraintes. Selon la function, quatre types d'événements peuvent être identifiés: "cospéciation" (quand l'hôte et le symbiont évoluent ensemble), "duplication" (quand le symbiont évolue en différentes espèces mais pas l'hôte), "perte" (lorsque l'hôte évolue en deux nouvelles espèces mais pas le symbiont, entraînant la perte du symbiont chez l'une des deux nouvelles espèces d'hôtes) et "host switch" (lorsque le symbiont évolue en deux nouvelles espèces dont l'une infecte une autre espèce hôte). Compte tenu d'un coût pour chaque type d'événement, c_c, c_d, c_l, et c_h respectivement, nous pouvons affecter un coût total à chaque réconciliation. Les réconciliations avec minimum coût sont dites "parcimonieuses", et l'ensemble des ces réconciliations de coût minimum est noté Rec(H, P, C), où C = (c_c, c_d, c_l, c_h). Le nombre de réconciliations parcimonieuses peut être souvent énorme et, sans autre information, toute interprétation biologique de la coévolution sous-jacente exigerait que tous les rapprochements parcimonieux soient énumérés et examinés. Cela est toutefois impossible sans fournir une sorte de vue de haut niveau de la situation. Dans cette thèse, nous avons abordé ce problème en introduisant deux relations d'équivalence pour mettre ensemble des réconciliations similaires et réduire les solutions optimales à un plus petit ensemble de représentants de ces classes d'équivalence. Nous avons ensuite introduit une nouvelle distance DH parmi les réconciliations optimales et nous la comparons aux distances déjà présentes dans la littérature. Nous montrons que nous pouvons projeter l'ensemble des rapprochements parcimonieux Rec(H, P, C) dans l'hypercube discret H^k = {0,1}^k et que DH coïncide avec la "Distance de Hamming" sur H^k. Dans cette thèse nous présentons une série de résultats sur les réconciliations basées sur les conditions c_c 0 qui sont raisonnables et conduisent à prouver que l'ensemble des "host switch" d'une réconciliation caractérise celle-ci. Les relations d'équivalence et la distance introduites sont toutes les trois basées sur les événements de "host switch". Nous présentons aussi quelques résultats expérimentaux pour montrer l'efficacité des deux relations d'équivalence et nous rapportons ces résultats au vecteur de coût choisi. Les meilleurs résultats ont été obtenus dans le cas de l'ensemble de données lié au parasite Wolbachia (une bactérie très présente parmi les insectes avec de nombreuses applications dans le contrôle des épidémies et la reproduction des insectes) où nous passons d'un nombre de réconciliations parcimonieuses de ~ 4.08 x 10^{42} réconciliations à ~ 1.15 x 10^{3} représentants

Clinical stability and in-hospital mortality prediction in COVID-19 patients presenting to the Emergency Department

BACKGROUND: The Novara-COVID score was developed to help the Emergency Physician to decide which Coronavirus disease (COVID) patient required hospitalization at emergency department (ED) presentation and to which intensity of care. We aimed at evaluating its prognostic role.METHODS: We retrospectively collected data of COVID patients admitted to our ED between March 16th and April 22nd, 2020. The Novara-COVID score was systematically applied to all COVID patients since its introduction in clinical practice and adopted to decide patients' destination. The ability of the Novara-COVID score to predict in-hospital clinical stability and in-hospital mortality were evaluated through multivariable logistic regression and Cox Regression Hazard models, respectively.RESULTS: Among the 480 COVID patients admitted to the ED, 338 were hospitalized: the Novara-COVID score was 0-1 in 49.7%, 2 in 24.6%, 3 in 15.4% and 4-5 in 10.3% of patients. Novara-COVID score values of 3 and 4-5 were associated with lower clinical stability with adjusted odds ratios of 0.28 [0.13-0.59] and 0.03 [0.01-0.12], respectively. When in-hospital mortality was evaluated, a significant difference emerged between scores of 0-1 and 2 vs. 3 and 4-5. In particular, the death adjusted Hazard Ratio for Novara-COVID scores of 3 and 4-5 were 2.6 [1.4-4.8] and 8.4 [4.7-15.2], respectively.CONCLUSIONS: The Novara-COVID score reliably predicts in-hospital clinical instability and mortality of COVID patients at ED presentation. This tool allows the Emergency Physician to detect patients at higher risk of clinical deterioration, suggesting a more aggressive therapeutic management from the beginning

Pattern of emergency department referral during the Covid-19 outbreak in Italy

The coronavirus disease (COVID-19) outbreak is putting the European National Health Systems under pressure. Interestingly, Emergency Department (ED) referrals for reasons other than Covid-19 seem to have declined steeply. In the present paper, we aimed to verify how the Covid-19 outbreak changed ED referral pattern